Va rugam sa trimiteti intrebari si comentarii la: [email protected], adresa: vezi amprenta, prezentarea subiectului pe pagina principala:

Matematica in viata de zi cu zi, puzzle-uri uimitoare de matematica, stochastica si poliedre, viata terestra si extraterestra


Ce sunt cupolele geodezice si cum le faci?

Daca doriti sa asamblati un dom cat mai sferic posibil de pe suprafete plane, ar trebui sa utilizati triunghiuri cat mai echilaterale si ale caror colturi se afla toate pe o suprafata sferica. Astfel de domuri au ceea ce este cunoscut ca o sfera.

Nu veti ajunge prea departe cu exact triunghiuri echilaterale, deoarece matematica permite doar trei astfel de corpuri. Daca exista trei triunghiuri echilaterale la fiecare colt, corpul este un tetraedru. www.ukastle.co.uk Cu greu se poate vorbi aici de o forma aproximativ sferica. Un octaedru are patru triunghiuri la fiecare colt si este mult mai „rotunjit”. Icosaedrul, cu cele cinci triunghiuri echilaterale la fiecare colt, iti da pentru prima data senzatia ca ai de-a face cu un corp aproximativ sferic. Din pacate, sase triunghiuri echilaterale la un colt nu mai formeaza un solid, deoarece cele sase unghiuri interioare corespunzatoare ale triunghiurilor insumeaza 360. Cu toate acestea, il puteti folosi pentru a crea un parchet nivelat. Un astfel de parchet poate fi desigur interpretat si ca suprafata unui corp sferic infinit de mare. organiclodging.com

Prin urmare, ideea este evidenta de a combina colturile cu cinci si sase triunghiuri cat mai regulat posibil. Colturile cu cinci triunghiuri ar trebui sa asigure curbura suprafetei. Dispunerea lor regulata ar produce un corp aproximativ sferic daca toate colturile ar fi plasate pe o suprafata sferica. Totusi, acest lucru nu mai este posibil cu exact triunghiuri echilaterale. Dar aceasta procedura duce de fapt la cupolele cautate mai sus. Se numesc cupole geodezice si sunt folosite pentru observatoare, planetarii, sisteme radar, sali de expozitie, sere etc. ijaws.biz

Aceste domuri geodezice sunt supuse unei conditii de limita interesante. In primul rand, se aplica teorema poliedrului lui Euler, care stabileste o relatie intre numarul de suprafete (F), muchiile (K) si colturile (E):

F + EK = 2

Deoarece luam in considerare doar poliedre cu fete triunghiulare, fiecare triunghi are trei muchii, dar muchiile trebuie sa imparta cu un triunghi vecin, se aplica si aici:

K = 3/2 * F

Inserat in partea de sus:

F + E 3/2 * F = 2


E = 1/2 * F + 2

Din fiecare pentagon emana 5 margini (E5). Cu toate acestea, fiecare margine apartine si unui colt diferit. Acelasi lucru este valabil si pentru hexagoanele (E6). Prin urmare, trebuie sa se aplice urmatoarele:

5/2 E5 + 6/2 E6 = K = 3/2 F


5 E5 + 6 (E E5) = 3 F


E5 = 6 E 3 F


E5 = 3 F + 12 3 F.

E5 = 12

Domurile geodezice au intotdeauna exact 12 pentagoane. kraken-editions.com Distributia cea mai uniforma a acestor pentagoane apare atunci cand sunt aranjate unul fata de celalalt exact ca cele 12 pentagoane ale unui icosaedru, care reprezinta cea mai simpla cupola geodezica. Cu o raza orbitala de 1 metru, icosaedrul are o lungime a laturii de 1,0514622 metri, iar unghiul de suprafata dintre doua triunghiuri invecinate este de 138,1897.

Cea mai usoara modalitate (metoda 1) de a construi domuri geodezice suplimentare este sa folositi icosaedrul tocmai mentionat ca corp de pornire. Triunghiurile echilaterale ale icosaedrului sunt impartite in 4, 9, 16 etc. echilaterale si triunghiuri mai mici de dimensiuni egale (vezi ilustratia). Deci obtineti n2 triunghiuri mai mici, unde n este un intreg pozitiv. uptimesemiconductorservice.com Acelasi numar si lungime de sectiuni sunt create pe laturile unui triunghi icosaedru. In plus, se formeaza hexagoane suplimentare. Acesta este proiectat din centrul icosaedrului pe suprafata sferei. Triunghiurile nou create in intregime formeaza o cupola geodezica. Cu cat triunghiurile icosaedrice sunt mai mici triunghiuri, cu atat domul geodezic astfel creat devine mai sferic.

Metoda 2: Dupa proiectie insa, triunghiurile nu sunt nici echilaterale, nici de aceeasi dimensiune. anolis.com Practic, aceasta problema nu poate fi evitata. Dar puteti obtine triunghiuri mai uniforme decat cu procedura simpla descrisa acum 1. Pentru a face acest lucru, laturile triunghiului icosaedric sunt prevazute cu marcaje, astfel incat, dupa ce aceste marcaje sunt proiectate pe sfera, sectiunile drepte dintre acestea devin de aceeasi lungime. . Marcajele de pe laturile icosaedrului sunt apoi conectate in acelasi mod ca in metoda simpla 1. Cu toate acestea, 3 linii nu se mai intersecteaza intr-un punct ca mai sus, ci formeaza un triunghi echilateral mai mult sau mai putin mic. ylk.softbooks.com Centrele acestor triunghiuri sunt de asemenea marcate.

In general, aceste domuri geodezice au F = 20 · n2 triunghiuri, unde n este un numar intreg mai mare decat zero.


Cele doua figuri arata cele mai simple cupole geodezice care pot fi construite dintr-un icosaedru. Au 80 sau 180 de triunghiuri pe suprafata lor.

Domul geodezic cu 80 de triunghiuri are 20 de triunghiuri echilaterale si 60 de triunghiuri isoscele. Cu o raza orbitala de 1 metru, laturile acestui dom au cele doua lungimi diferite de 0,546533 metri (picioare) si 0,618034 metri. scandinasia.net Domul are, de asemenea, doua unghiuri de suprafata diferite cu valori de 157,5411 (unghi intre doua triunghiuri isoscele adiacente) si 161,9709.

Domul geodezic cu 180 de triunghiuri poate fi realizat printr-un proces suplimentar. Pentru a face acest lucru, luati icosaedrul trunchiat ca corp de pornire si impartiti cele 20 de hexagoane in 6 triunghiuri echilaterale si cele 12 pentagoane in 5 triunghiuri isoscele. Apoi, hexagoanele si pentagoanele nou create sunt proiectate din centrul icosaedrului trunchiat pe suprafata sferei. Prin urmare, aceasta procedura este identica cu procedura 1.

Exista si o alta metoda pentru domul geodezic cu 320 de triunghiuri. www.beartree.com Pentru a face acest lucru, mai intai impartiti triunghiurile icosaedrice in 4 triunghiuri mai mici asa cum este descris mai sus si proiectati hexagoanele care sunt create pe sfera. Triunghiurile nou create sunt impartite in 4 triunghiuri mai mici, iar hexagoanele care sunt create sunt proiectate din nou pe sfera. Aceasta procedura in doi pasi da un rezultat foarte similar cu procedura 2.




Urmatorul tabel rezuma proprietatile unor astfel de domuri cu pana la 2000 de triunghiuri


(dispunerea si lungimea marginilor individuale se calculeaza cel mai bine cu un program de calculator):

Distanta de numarul de Numar Numar Numar Numar Numar de
Fnferecken triunghiuri pe de diferite diferite in Seitenlngen iesire triunghiuri colturi margini triunghiuri * Kantenlngen de triunghiuri triunghiulare

Procedura 1 (2) Procedura 1 (2)
 
  1 (icosaedru) 1 20 12 301 (1) 1 (1) 2 (tetraicosaedru) 4 80 42 1202 (2) 2 (2) 3 9 180 92 2702 (3) 3 (3) 4 16 320 162 4806 (6) 6 (5) 5 25 500 252 7509 (9) 9 (7) 6 36 720 36210808 (12) 9 (10) 7 49 980 492 (10) 7 49 980 417 (7) 8 641280 642192022 (22) 20 (17) 9 811620 812243018 (27) 20 (21) 1010020001002300034 (34) 30 (26)

* Triunghiurile simetrice in oglinda sunt considerate diferite.

Semi-domurile pot fi construite cu usurinta din domurile cu n = 2, 4, 6, 8 si 10.


Aceste semi-domuri au fiecare jumatate din triunghiuri si 65, 250, 555, 980 si 1525 de margini. www.scenicterrace.com


Marginile inferioare ale acestor semi-domuri se afla chiar intr-un singur plan daca sunt construite conform metodei 1.


Pentru a face acest lucru, totusi, 5 triunghiuri trebuie sa se intalneasca in partea de sus a semi-domului. Motivul pentru aceasta este ca un


icosaedru, taiat la mijloc si orientat in acelasi mod, are ca suprafata taiata un decagon plat, regulat.

Calcule ale lungimii marginilor cupolei geodezice cu 80 de triunghiuri:

Pentru acest dom cu cele 60 de triunghiuri isoscele si 20 de triunghiuri echilaterale, cele doua lungimi diferite de margine ale triunghiurilor pot fi inca calculate relativ usor.


Sa presupunem ca raza sferei este r = 1 metru.



  • ing home bank
  • jungkook
  • chefi la cutite
  • geoagiu bai
  • ok google
  • daemon tools
  • rochii
  • google translate romana engleza
  • www
  • pc garage
  • desene de craciun
  • https
  • приват24
  • andreea ibacka
  • btrl
  • remi etalat
  • nokia
  • turnul eiffel
  • cane corso
  • dasweltauto





Un icosaedru este plasat in sfera corespunzatoare si se calculeaza lungimea muchiei s a triunghiurilor sale. usedcarswap.com


Relatia dintre r si s se aplica:

r = s / 4√ (10 + 2√5)

Transformat in s are ca rezultat:

s = r / 5√ (50 10√5) = 1,051462 metri

Apoi, centrele muchiilor icosaedrului sunt proiectate pe sfera. Aceste noi puncte, impreuna cu colturile icoaedrului, determina


lungimea a picioarelor triunghiurilor isoscele ale domului. Dupa aplicarea teoremei lui Pitagora de doua ori:

a = √ ((s / 2) 2 + (r √ (r2 (s / 2) 2)) 2) = 0,546533 metri

Un truc poate fi folosit pentru a determina lungimea a doua margine b cautata.


Imagineaza-ti 5 triunghiuri isoscele care se intalnesc la un colt ca un pentagon plat, regulat. Colturile acestui pentagon sunt inca pe sfera de mai sus.


Toate pentagoanele impreuna cu triunghiurile echilaterale formeaza un asa-numit icosidodecaedru. fearproof.net


Relatia simpla se aplica intre raza sferei r si lungimile marginilor b ale icosidodecaedrului:

r = b / 2 (1 + √5)

Transformat conform b, obtinem in sfarsit:

b = r / 2 (√5 1) = 0,618034 metri

Cele 20 de triunghiuri echilaterale au lungimea muchiei de 0,618034 metri, iar cele 60 de triunghiuri isoscele de un 0,618034 metru si doua de 0,546533 metri.

O alta posibilitate pentru constructia cupolelor geodezice este utilizarea dodecaedrului ca punct de plecare. Pentru a face acest lucru, conectezi colturile celor 12 pentagoane cu centrul pentagonului respectiv si obtii astfel cele 12 pentagoane, pe care trebuie sa le transferi inapoi in sfera. Din aceasta cupola geodezica clar definita cu 60 de triunghiuri isoscele se poate crea din nou o serie de cupole geodezice prin subdivizarea triunghiurilor folosind una dintre cele doua metode, ca mai sus. Cu toate acestea, trebuie sa va asigurati ca pasii pentru diferite lungimi ale marginilor triunghiurilor isoscele sunt efectuate separat. In ceea ce priveste domul geodezic cu 60 de triunghiuri, acesta nu trebuie confundat cu dodecaedrul pentakis foarte asemanator, care, ca corp catalan, este dual cu icosaedrul trunchiat. beless.com Dodecaedrul pentakis nu are sfera.

Aceste cupole geodezice, derivate din dodecaedru, au F = 60 · n2 triunghiuri, unde n este un numar intreg mai mare decat zero.


Cele doua figuri arata cele mai simple cupole geodezice care pot fi construite dintr-un dodecaedru. Au 60 sau 240 de triunghiuri pe suprafata lor.

In domul geodezic cu 60 de triunghiuri, toate triunghiurile sunt isoscele. Cu o raza orbitala de 1 metru, laturile acestui dom au cele doua lungimi diferite de 0,640852 metri (picioare) si 0,713644 metri. www.podpet.com Domul are, de asemenea, doua unghiuri de suprafata diferite cu valori de 153,7896 (unghi intre triunghiurile adiacente picioarelor sale) si 161,9460.




Urmatorul tabel rezuma din nou proprietatile unor astfel de domuri cu pana la 2000 de triunghiuri


(dispunerea si lungimea marginilor individuale se calculeaza cel mai bine cu un program de calculator):

Distanta de numarul de Numar Numar Numar Numar Numar de
Fnferecken triunghiuri pe de diferite diferite in Seitenhhen iesire triunghiuri colturi margini triunghiuri * Kantenlngen de triunghiuri triunghiulare

Metoda 1 (2) Metoda 1 (2)
 
  2 (penta-dodecaedru) 1 60 32 901 (1) 2 (2) 4 4 240 122 3604 (4) 4 (4) 6 9 540 272 8 109 (9) 9 ( 7) 816 960482144016 (16) 14 (12) 10251500752225025 (25) 22 (18)

* Triunghiurile simetrice in oglinda sunt considerate diferite.

Calcule ale lungimii marginilor cupolei geodezice cu 60 de triunghiuri:

Pentru aceasta cupola cu cele 60 de triunghiuri isoscele ale sale, cele doua lungimi diferite de margine ale triunghiurilor pot fi inca calculate relativ usor.


Sa presupunem ca raza sferei este r = 1 metru. Un dodecaedru este plasat in sfera corespunzatoare si fiecare pentagon al dodecaedrului este impartit


in 5 triunghiuri isoscele. Relatia dintre r si muchia a unui pentagon este:

r = a / 4 √3 (1 + √5)

Prin urmare, pentru muchia a unui pentagon:

a = 4r / (√3 (1 + √5)) = 0,713644 m

Aceasta margine este identica cu unul dintre triunghiurile domului. walkergang.net Acum trebuie sa determinati lungimea celorlalte doua margini.


Lungimea h de la un colt al unui pentagon pana la centrul pentagonului este:

h = (a / 2) / sin36 = 0,607062 m

Acesta ar fi rezultatul daca centrul pentagonului nu ar fi pe dodecaedru, ci pe circumferinta.


Raza sferei este doar r √ (75 + 30√5) / 15 = 0,794654 metri.

Trebuie sa ridicati centrul pentagonului cu rr√ (75 + 30√5) / 15, astfel incat triunghiurile corespunzatoare cu colturile lor sa se afle si ele pe sfera.


Potrivit lui Pitagora, lungimea b rezulta pentru catetele triunghiurilor isoscele

b = √ ((r – r√ (75 + 30√5) / 15) 2 + h2) = 0,640852 m

Cele 60 de triunghiuri isoscele au lungimi de margine de 0,713644 metri o data si 0,640852 metri de doua ori.

Daca utilizati formula b = 3/38 a (9 + √5) in calcul, obtineti lungimea catetei b pentru cele 60 de triunghiuri isoscele ale dodecaedrului pentakis. dollar123.com


Este de 0,633044 metri, spre deosebire de cei 0,640852 metri pentru domul geodezic cu 60 de triunghiuri.


Dodecaedrul pentakis este un corp catalan si, spre deosebire de cupola geodezica, nu are sfera, ci o sfera inc.

Cele doua serii mentionate sunt singurele in care corpurile au planuri de simetrie. Exista, de asemenea, un numar infinit de serii de cupole geodezice „rasucite”. Cea mai simpla dintre aceste serii apare atunci cand luati dodecaedrul tesit ca corp de pornire, nu schimbati cele 80 de triunghiuri la inceput si continuati cu cele 12 pentagoane ca si cu dodecaedrul. Ilustratia arata cea mai simpla cupola geodezica din aceasta serie. beautywater.com Are 140 de triunghiuri.




Si aici vine tabelul cu caracteristicile celei mai simple serii de cupole geodezice „raucite” cu pana la 2000 de triunghiuri:

Distanta de numarul de Numar Numar Numar
Fnferecken triunghiuri per a in Seitenlngen de iesire triunghiuri colturile margini ale triunghiuri triunghiulare


 
aproximativ 2,5 1 140 72 210 aproximativ 5 4 560 282 840 aproximativ 7,5 912606321890

Poliedrele care sunt duale cu cupolele geodezice sunt de asemenea interesante. Pe langa cele 12 pentagoane obisnuite, acestea au doar hexagoane pe suprafata lor si sunt folosite si pentru construirea de cupole. Se obtine prin plasarea planurilor tangentiale prin colturile unei cupole geodezice pe circumferinta acestui dom geodez. Liniile drepte de intersectie ale planurilor tangente prin colturile adiacente formeaza apoi laturile cupolei duale.

Cea mai simpla astfel de cupola este dodecaedrul (12 pentagoane, fara hexagoane). video88.com Este dual cu icosaedrul si cupola de iesire a unei serii care are F = (10 · n2 + 2) zone (12, 42, 92, 162, 252, 362, 492, 642, 812, 1002, …) . Ilustratiile arata urmatoarele doua cupole din aceasta serie si anume „fotbalul mare” cu 42 de fete (12 pentagoane si 30 de hexagoane) si cupola duala cu 92 de fete (12 pentagoane si 80 de hexagoane). „Marele fotbal” se poate realiza prin tocirea pentagoanelor unui triacontaedru rombic (corp dublu arhimedian sau catalan) iar o cupola geodezica cu 60 de triunghiuri poate fi transformata intr-o cupola duala cu 92 de fete prin tocire. www.mustanggasproducts.biz


O a doua serie are F = (30 · n2 + 2) arii (32, 122, 272, 482, 752, …) si este duala cu cupolele geodezice cu 60, 240, 540, … fitnesspizza.com triunghiuri. Incepe cu icosaedrul trunchiat (corp de fotbal), care are 32 de suprafete (12 pentagoane si 20 de hexagoane). Dupa cum sugereaza si numele, acest corp este obtinut prin tocirea unui icosaedru. Acesta este urmat de o cupola dubla cu 122 de fete (12 pentagoane si 110 hexagoane) la suprafata. Se poate realiza prin tocirea cupolei geodezice, care are 80 de triunghiuri. Ilustratiile arata aceste doua varfuri cu 32 si, respectiv, 122 de zone.


In cele din urma, ultima figura arata domul dublu pana la cel mai simplu dom geodezic „rasucit”. Are 72 de zone (12 pentagoane si 60 de hexagoane) la suprafata. Ele pot fi realizate prin tocirea pentagoanelor unui hexacontaedru pentagon (corp dublu arhimedian sau catalan).