O ancheta a topului tip – ME 598

de Antonis Vakis

Introducere

Tippe Top este o jucarie care apartine categoriei generale de topuri de filare. Varfurile de filare sunt jucarii care pot fi rotite in jurul unei axe si pot echilibra pe un punct, bazandu-se pe efectul giroscopic: odata initiata rotirea, momentul unghiular face ca jucaria sa reziste modificarilor orientarii sale. Momentul unghiular si, in consecinta, efectul giroscopic, se diminueaza treptat cu timpul, datorita efectelor de frecare si filarea inceteaza. In cazul Tippe Top, geometria si constructia sa permit un efect mai spectaculos: atunci cand este rotit pe o suprafata plana, Tippe Top isi va transforma tulpina – adica tija cilindrica care este montata pe sectiunea unei sfere care constituie restul jucariei – spre suprafata si, la atingerea suprafetei, se va inversa si va incepe sa se invarta pe tulpina, schimband in acelasi timp directia de rotatie.

Imagine 1: Wolfgang Pauli si Niels Bohr observa varful Tippe (Erik Gustafson, amabilitate Arhivele vizuale Emilio Segre AIP, Colectia Margrethe Bohr (www.aip.org/history/esva)).

Prima referinta documentata a comportamentului Tippe Top este descrisa intr-o carte din 1890 de John Perry referindu-se la Sir William Thompson si Hugh Blackburn experimentand prin rotirea pietrelor in forma de ou gasite pe plaja (Fysikbasen.DK). De asemenea, Perry descrie un obiect sferic mic, cu un centru de masa care nu coincide cu centrul sferei, care, atunci cand este filat, isi ridica centrul de masa departe de sol (Perry, 1890).

Array

Un brevet pentru un obiect numit „Wenderkreisl” a fost depus de Helene Sperl din Munchen, Germania, in 1891, dar a fost retras dupa un an, deoarece taxa de brevet nu a fost platita. Aparent, niciunul dintre modelele descrise in acest brevet nu pare sa functioneze. Un model de lucru a fost dezvoltat, brevetat si produs in masa de inginerul danez Werner Ostberg in 1950 sub denumirea de „tippetop”. Doua brevete de varfuri de filare similare exista sub numele de Oscar Hummel, datand din 1948 si 1949 (Fysikbasen.DK). Prima persoana care a scris pe dinamica Tippe Top a fost CM Braams de la University of Lund (Braams, 1954). Probabil cea mai riguroasa analiza a mecanicii de varf a fost publicata de fizicianul Richard Cohen la Institutul de Tehnologie din Massachusetts in 1977 (Cohen, 1977).

Discutie

Varful Tippe consta dintr-o sectiune a unei sfere conectate la o tija cilindrica, asa cum se arata in imaginea 2 de mai jos.

Imaginea 2: Figurile lui Werner Ostberg din partea de sus a Tippe din stanga (Ostberg, 1950) si un Tippe Top fabricat la Colegiul Universitar din Aarhus, Danemarca pe dreapta (Fysikbasen.

Array

DK).

Comportamentul varfurilor de filare conventionale se bazeaza pe principiul schimbarii momentului unghiular, asa cum este rezumat in figura 1 de mai jos. Pe scurt, greutatea varfului datorata gravitatiei determina un cuplu care este responsabil pentru modificarea momentului unghiular, $ \ Delta L $. Aceasta modificare a momentului unghiular compenseaza apoi vectorul general astfel incat sa forteze partea de sus spre dreapta, atunci cand este prevazuta o viteza de rotatie suficienta. Miscarea axei z fixate de corp pe partea superioara in raport cu axa z globala se numeste precesie.

Figura 1: Schimbarea momentului unghiular pe partea stanga si o schema a precesiunii unui varf de filare pe dreapta (Nave, 2005).

In cazul Tippe Top, frecarea joaca cel mai important rol. In primul rand, datorita geometriei varfului, vectorul momentului unghiular, L $, puncteaza aproape in intregime de-a lungul axei z pozitive. In timpul inversarii, centrul de masa este ridicat, necesitand astfel existenta energiei potentiale – aceasta energie potentiala este necesara pentru a ridica centrul de masa.

In acest caz, viteza unghiulara si, in consecinta, momentul unghiular L $ scad. Cu toate acestea, aceasta reducere a momentului unghiular necesita actiunea unui cuplu, deoarece $ \ tau = \ frac {\ Delta L} {\ Delta t} $. Deoarece forta gravitatiei si reactia la punctul de contact nu pot produce un astfel de cuplu de-a lungul axei Z, ele nu pot fi responsabile pentru schimbarea momentului unghiular. Prin urmare, trebuie sa existe o forta de frecare la punctul de contact (Cohen, 1977).

Distributia de masa este simetrica fata de ax, in timp ce centrul de masa este epicentric. Deoarece punctul de contact nu se coicideaza cu axa de rotatie, Tippe Top va aluneca pe suprafata intr-un cerc in jurul axei z. Frictiunile glisante furnizeaza cuplul necesar inversarii. Dupa inversare, trebuie mentionat ca directia de rotatie se schimba tocmai astfel incat directia momentului unghiular sa poata ramane constanta.

Cohen foloseste geometria pentru a extrage ecuatiile miscarii pentru Top Tippe (Cohen, 1977). Cu toate acestea, o abordare mai usoara este cea luata de Ciocci si Langerock, unde Lagrangianul sistemului este evaluat si ecuatiile de miscare sunt derivate din ecuatiile canonice Euler-Lagrange. Figura 2, de mai jos, prezinta aproximarea sferei excentrice utilizate de Ciocci si Langerock impreuna cu definitiile simbolurilor utilizate in ecuatia pentru Lagrangian.

Figura 2: Model de sfera excentrica a varfului Tippe (Ciocci si Langerock, 2007).

Fortele care actioneaza asupra sferei sunt gravitatia, $ \ bf G = -mg \ bf e_z $, iar forta de frecare la punctul Q, $ \ bf F $. Constrangerea holonomica a sistemului este:

$ h (\ theta) = R – \ epsilon \ cos \ theta = z $

Lagrangianul sistemului este:

$ L = \ frac {1} {2} (m (\ punct x ^ 2 + \ dot y ^ 2) + (\ epsilon ^ 2 m \ sin ^ 2 \ theta + A) \ dot \ theta ^ 2 + A \ sin ^ 2 \ theta \ dot \ phi ^ 2 + C (\ dot \ psi + \ dot \ phi \ cos \ theta) ^ 2) – mg (R – \ epsilon \ cos \ theta) $

unde $ A $ este momentul inertiei cu privire la 1 si 2 axe fixate cu corpul, iar $ C $ este momentul inertiei cu privire la axa fixa ​​a corpului 3. Aceasta functie este definita pe spatiul tangent al colectorului de configurare $ M = \ mathbb {R} ^ 2 \ times \ mathbb {SO} (3) $, unde $ \ mathbb {SO} (3) $ este grupul de rigid rotatii in $ \ mathbb {R} ^ 3 $.

Ecuatia Euler-Lagrange:

$ \ frac {d} {dt} (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q ^ i}) – \ frac {\ partial L} {\ partial q ^ i} = Q_i ^ F $

unde $ Q ^ F = Q_i ^ F dq ^ i $ este o forma pe $ M $ si reprezinta momentul de forta generalizat al fortei de frecare la punctul de contact, poate fi rezolvat pentru a produce ecuatiile miscarii.

In plus,

$ Q ^ F = \ bf R_f \ cdot \ bf e_x dx + \ bf R_f \ cdot \ bf e_y dy + (\ bf q \ times \ bf R_f) \ cdot (\ bf e_y d \ theta + \ bf e_z d \ phi + \ bf e_Z d \ psi) $

unde $ \ bf e_Z $ este axa 3 fixata pe corp. Forta de frecare este atunci $ \ bf F = \ bf R_f + R_n \ bf e_z $ cu $ \ bf R_n = R_n \ bf e_z $ fiind forta de reactie normala a podelei la punctul $ Q $ (din ordinul $ mg $) si $ \ bf R_f = F_x \ bf e_x + F_y \ bf e_y = – \ mu R_n \ bf V_Q $ (dintr-o lege de frecare vascoasa) fiind frecarea glisanta care se opune miscarii de alunecare. Retineti ca $ \ bf R_f \ cdot \ bf V_Q <0 $, unde $ \ bf V_Q $ este viteza de alunecare la $ Q $. Coordonatele punctului $ Q $ sunt $ Q = (R \ sin \ theta, 0, \ epsilon – R \ cos \ theta) $. De asemenea, $ \ bf V_Q = \ bf V_O + \ bf \ omega \ times \ bf q $ unde $ \ bf q $ este vectorul dintre punctele $ O $ si $ Q $ si $ \ bf V_O = (\ dot x, \ dot y, h ‘(\ theta) \ dot \ theta) $ este viteza din centrul masei.

Apoi, viteza unghiulara poate fi calculata ca $ \ bf \ omega = – \ dot \ phi \ sin \ theta \ bf e_x + \ dot \ theta \ bf e_y + n \ bf e_z $ unde $ n = \ dot \ psi + \ dot \ phi \ cos \ theta $ este componenta lui $ \ bf \ omega $ aproximativ $ \ bf e_z $ – adica rotirea.

Acum, ecuatiile miscarii pot fi exprimate ca momente de forta generalizate precum:

$ Q_x = – \ mu R_n (\ dot x – \ sin \ phi \ dot \ theta (R – \ epsilon \ cos \ theta) + \ cos \ phi \ sin \ theta (R \ dot \ psi + \ epsilon \ dot \ phi)) $

$ Q_y = – \ mu R_n (\ dot y + \ cos \ phi \ dot \ theta (R – \ epsilon \ cos \ theta) + \ sin \ phi \ sin \ theta (R \ dot \ psi + \ epsilon \ dot \ phi)) $

$ Q_ \ theta = – \ mu R_n (R – \ epsilon \ cos \ theta) (\ cos \ phi \ dot y – \ sin \ phi \ dot x + (R – \ epsilon \ cos \ theta) \ dot \ theta ) $

$ Q_ \ phi = – \ mu R_n \ epsilon \ sin \ theta (\ cos \ phi \ dot x – \ sin \ phi \ dot y + \ sin \ theta (\ epsilon \ dot \ phi + R \ dot \ psi) ) $

$ Q_ \ psi = – \ mu R_n R \ sin \ theta (\ cos \ phi \ dot x – \ sin \ phi \ dot y + \ sin \ theta (\ epsilon \ dot \ phi + R \ dot \ psi)) $

(din Ciccio si Langerock, 2007)

Ciccio si Langerock continua sa foloseasca asa-numita constanta Jellet , definita ca $ J = – \ bf L \ cdot \ bf q = constanta $, care, intr-o oarecare masura, controleaza miscarea varfului de filare. Constanta Jellet este calculata a fi:

$ J = C n (R \ cos \ theta – \ epsilon) + A \ dot \ phi R \ sin ^ 2 \ theta $

Apoi, folosind reducerea Routhian – prin presupunerea unei aproximari simplificate a legii de frecare – autorii procedeaza la efectuarea analizei de stabilitate a sistemului. Nu este scopul acestei prezentari generale sa se concentreze pe aceste proceduri. Ar trebui sa fie suficient sa raportam doar rezultatele stabilitatii:

In aproximarea efectelor de tranzitie neglijabile, o sfera excentrica de invartire pe o suprafata orizontala (perfect dura) supusa unei frictiuni glisante este reductibila cu o procedura de reducere routhiana. Echilibrul relativ al sistemului redus sunt tocmai starile de echilibru ale sistemului initial. Sunt solutii pur rulante si cu exceptia starii banale de repaus, sunt de trei tipuri:

(i) varf de filare vertical (neinvertit) cu centrul de masa drept sub centrul geometric;

(ii) varf de filare vertical (inversat) cu centrul de masa direct deasupra centrului geometric;

(iii) varful de filare intermediar, partea de sus precesioneaza aproximativ o verticala in timp ce se invarte in jurul axei sale si se rostogoleste pe plan, fara sa se orienteze.

Existenta si tipul de stabilitate al acestor echilibre relative depind doar de raportul de inertie $ \ frac {A} {B} $, excentricitatea sferei $ \ frac {\ epsilon} {R} $ si invariantul Jellet $ J $ ( Ciocci si Langerock, 2007).

Concluzie

Tippe Top este un tip de varf de filare care, datorita constructiei sale si efectelor momentului unghiular si frictiunii glisante, isi ridica centrul de masa pana se inverseaza si directia de rotatie este inversata. Acest comportament dinamic foarte interesant a fost descris in aceasta scurta privire de ansamblu, explicand legile care reglementeaza schimbarile momentului unghiular si solutionand ecuatiile miscarii, asa cum sunt prezentate in lucrarea lui Ciocci si Langerock. Lucrarea respectiva, impreuna cu cea mai mare parte a literaturii pe aceasta tema, trateaza in mare parte stabilitatea sistemului; cu toate acestea, atunci cand este combinat cu lucrarea de Richard Cohen din 1977, poate servi la intelegerea dinamicii de baza a problemei. Pentru mai multe detalii privind problema stabilitatii, consultati lucrarile: „Tippe Top Inversion as a Disipation Induced Instability” de Bou-Rabee, Marsden si Romero, ”

Referinte

Braams, CM: „Toppeul tippe”, am. J. Fiz. 22, 568 (1954).

Ciocci, MC si Lengerock, B.: „Dinamica varfului tippe prin reducerea Routhianului”, eprint arXiv: 0704.1221 (2007).

Cohen, RJ: „Top Tippe Revisited”, am. J. Fiz. 45, 12 (1977).

FYSIKBASEN.DK, Danemarca: Top Tippe (http://www.fysikbasen.dk/TippetopENGLISH.php).

Nave, CR: HyperPhysics, Universitatea de Stat din Georgia, 2005 (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html).

Ostberg, W .: Numarul de brevet: 656,540. Topuri de filare. OSTBERG, W. 6 octombrie 1950, nr. 24495. Datele conventiei, 4 iulie si 22 iulie 1950.

Perry, J.: „Spinning Tops”, Societatea pentru promovarea cunoasterii crestine (1890).